有趣的流體小知識（二）——神奇的卡門渦街

天才通常擁有比常人敏銳的洞察力。實驗中的反常現(xiàn)象引起了馮·卡門的注意，他想「也許振動不是偶然的，而是由內(nèi)在原因決定的」。于是卡門從理論角度進行思考。這個被稱作「卡門渦街」的理論被后來眾多實驗證實。「卡門渦街」的名稱，也沿用至今。

歷史注記

什么是卡門渦街

摘自 Wikipedia "Kármán vortex street"

In fluid dynamics, a Kármán vortex street (or a von Kármán vortex street) is a repeating pattern of swirling vortices, caused by a process known as vortex shedding, which is responsible for the unsteady separation of flow of a fluid around blunt bodies.

在流體動力學中，卡門渦街 (或馮·卡門渦街)是一種重復的旋渦模式，由一個被稱作旋渦脫落的過程引起，該過程是鈍體周圍的流體流動產(chǎn)生非定常分離的原因之一。

It is named after the engineer and fluid dynamicist Theodore von Kármán and is responsible for such phenomena as the "singing" of suspended telephone or power lines and the vibration of a car antenna at certain speeds. Mathematical modeling of von Kármán vortex street can be performed using different techniques including but not limited to solving the full Navier-Stokes equations with k-epsilon, SST, k-omega and Reynolds stress, and large eddy simulation (LES) turbulence models, or by numerically solving some dynamic equations such as the Ginzburg-Landau equation.

它以工程師兼流體動力學家西奧多·馮·卡門的名字命名。懸掛在空中的電話或電力線會發(fā)出「嗡鳴」，汽車天線在特定風速下會振動，衛(wèi)星圖片上島群后面出現(xiàn)的尾跡（如圖 1 所示）……這些現(xiàn)象都是由卡門渦街造成的。卡門渦街有多種數(shù)學建模方式，比如求解應用 k-epsilon, SST, k-omega, 雷諾應力和大渦模擬 (LES) 湍流模型的完整 Navier-Stokes 方程，或數(shù)值求解 Ginzburg-Landau 方程等動力學方程。

流體力學大師，航空航天奇才

西奧多·馮·卡門（1881年5月11日 ~ 1963年5月6日），匈牙利猶太人，1936年入美國籍，是20世紀最偉大的航天工程學家，開創(chuàng)了數(shù)學和基礎(chǔ)科學在航空航天和其他技術(shù)領(lǐng)域的應用，被譽為「航空航天時代的科學奇才」。卡門師從有「現(xiàn)代流體力學之父」「空氣動力學之父」之稱的普朗特（我國著名流體力學家陸士嘉先生是普朗特的唯一親傳女弟子）。他所在的加利福尼亞理工學院實驗室后來成為美國國家航空和航天噴氣實驗室（NASA JPL），我國著名科學家錢偉長、錢學森、郭永懷、林家翹都是他的親傳弟子。同時，卡門在我國老百姓中知名度也很高。

馮·卡門在航空事業(yè)上的卓越成就是無可辯駁的。航空學和航天學上一些最光輝的理論、概念都是以他的名字命名，月球上也有一個名為馮·卡門的隕石坑。而航空史上令人矚目的里程碑，如齊柏林飛艇、風洞，滑翔機和火箭…… 可以說20世紀的一切實際飛行和模擬飛行的成功都與他有著密切聯(lián)系。卡門特別的貢獻包括非彈性彎曲，環(huán)筒流的非定常尾跡，層流穩(wěn)定性，紊流，定常和非定常流中的翼型，邊界層以及超音速空氣動力學。在其他領(lǐng)域他也有貢獻，包括彈性，振動，傳熱和結(jié)晶學等。

卡門渦街的發(fā)現(xiàn)

Although named after Theodore von Kármán, he acknowledged that the vortex street had been studied earlier by Arnulph Mallock and Henri Bénard. Kármán tells the story in his book Aerodynamics:

雖然以馮·卡門的名字命名，卡門本人指出阿努夫·馬洛克和亨利·伯納德早前就對漩渦街進行過研究?？ㄩT在他的《Aerodynamics》（空氣動力學）著作中講述了這樣一個有趣的故事：

...Prandtl had a doctoral candidate, Karl Hiemenz, to whom he gave the task of constructing a water channel in which he could observe the separation of the flow behind a cylinder. The object was to check experimentally the separation point calculated by means of the boundary-layer theory. For this purpose, it was first necessary to know the pressure distribution around the cylinder in a steady flow. Much to his surprise, Hiemenz found that the flow in his channel oscillated violently. When he reported this to Prandtl, the latter told him: 'Obviously your cylinder is not circular.' However, even after very careful machining of the cylinder, the flow continued to oscillate. Then Hiemenz was told that possibly the channel was not symmetric, and he started to adjust it. I was not concerned with this problem, but every morning when I came in the laboratory I asked him, 'Herr Hiemenz, is the flow steady now?' He answered very sadly, 'It always oscillates.'

1911年，路德維?！て绽侍?/span>^[1]給了他的一個博士生，卡爾·希門茲^[2]一個任務：建造一個可以觀察到圓柱體后面的水流分離的水道，以通過實驗來檢驗利用邊界層理論計算出的流動分離點的正確性。為此，首先需要知道在穩(wěn)定流動中圓柱體周圍的壓力分布。令希門茲吃驚的是，他發(fā)現(xiàn)管道中的流動振蕩十分劇烈。當他將這一情況報告給普朗特時，導師告訴他：「很明顯，你的圓柱體不是準確的圓形?！谷欢词乖趯A柱進行了非常仔細的打磨之后，流動仍然在振蕩。接著，普朗特又告訴希門茲可能由于槽道不對稱，希門茲又開始調(diào)整它。我不是很關(guān)心這個問題，但每天早上我一進實驗室就問他：「希門茲先生，現(xiàn)在流量穩(wěn)定了嗎?」他非常悲傷地回答說:「它總是振蕩的?！?/p>

天才通常擁有比常人敏銳的洞察力。實驗中的這種反?，F(xiàn)象立刻引起了馮·卡門的注意，他想「也許振動不是偶然的，而是由內(nèi)在原因決定的」。于是卡門從理論上進行思考，起初他設想圓柱體后的水流形成兩道對稱排列但反方向的旋渦，但發(fā)現(xiàn)這種狀態(tài)不能維持，很快不穩(wěn)定。于是他假設兩道旋渦交錯排列，計算結(jié)果表明這種狀態(tài)在一定條件下能夠維持?？ㄩT將計算結(jié)果向?qū)熎绽侍貓蟾妗ｋS即普朗特命卡門寫出論文發(fā)表。這是卡門的第一篇論文，也是他的成名之作。這個關(guān)于渦街的理論被后來眾多實驗證實。「卡門渦街」的名稱，也沿用至今。

一向謙虛的卡門認為他在 1911 ~ 1912 年，對這一問題研究的貢獻主要在兩個方面：

一是發(fā)現(xiàn)渦街只有當渦旋是反對稱排列，且僅當行列的距離對同行列內(nèi)相鄰兩渦旋的間隔有一定的比值時才穩(wěn)定；
二是將渦系所攜帶的動量與阻力聯(lián)系了起來。

不過，這一開創(chuàng)性貢獻足以寫進后輩們的教科書了~

下面，就讓我們回到1911年，感悟大師的直覺，享受物理的奇妙，體驗科學的魅力。

卡門的建模思路

物理的直覺告訴卡門，流動穩(wěn)定的振蕩與組合旋渦，即點渦系的穩(wěn)定性有關(guān)。但是，兩道對稱排列但反方向的旋渦的互相誘導明顯不穩(wěn)定。那么如果兩道旋渦交錯排列呢？這樣又能誕生怎樣的奇妙現(xiàn)象呢？

現(xiàn)在構(gòu)建一個按圖 2 所示排列的點渦系，其由兩排強度相同、符號相反，水平間距相同 (均為 $a$ )，錯位排列的點渦列組成，考慮無粘情形。兩排點渦位于 $y = \pm \frac{b}{2}$ 直線上。

現(xiàn)在讓我們嘗試繪制點渦系誘導流場的流線。并思考：當兩列點渦滿足什么位置關(guān)系時，點渦系能夠保持無粘中性穩(wěn)定？

模型的數(shù)學解答

我們知道，在復平面上，考慮二維、不可壓、勢流情形，點渦誘導速度的復位勢可以表達為^[3]

$\begin{matrix} (1) & W (z) = \frac{Γ}{2 π i} \ln (z - z_{0}) \end{matrix}$

其中， $z = x + i y = r e^{i θ}$ 為復平面坐標， $z_{0}$ 為點渦位置。復位勢可表達為

$\begin{matrix} (2) & W (z) = ϕ + i ψ \end{matrix}$

其中， $ϕ$ 為速度勢， $ψ$ 為流函數(shù)。

如圖 3 所示，考慮放置在 $x$ 軸上，關(guān)于 $y$ 軸對稱（原點布置一個點渦），強度相同，間距相同為 $a$ 的一排無窮多個點渦。

由疊加原理，其復位勢可表示為^[4]

$\begin{matrix} (3) & W (z) = \frac{Γ}{2 π i} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \ln (z - n a) = \frac{Γ}{2 π i} \ln [\frac{π z}{a} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{z^{2}}{n^{2} a^{2}})] + (\frac{Γ}{2 π i} \ln [\frac{a}{π} (- a^{2}) (- 4 a^{2}) \dots (- n^{2} a^{2})]) \end{matrix}$

由正弦三角函數(shù)展開式

$\begin{matrix} (4) & \sin x = x \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{n^{2} π^{2}}) \end{matrix}$

則式 $(3)$ 可進一步簡化為

$\begin{matrix} (5) & W (z) = \frac{Γ}{2 π i} \ln (\sin \frac{π z}{a}) \end{matrix}$

進而由坐標平移，寫出點渦系的總復位勢為

$\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} W (z) = \frac{Γ}{2 π i} \ln \frac{\sin [\frac{π}{α} (z - \frac{b}{2} i)]}{\sin [\frac{π}{α} (z + \frac{b}{2} i - \frac{a}{2})]} \end{aligned} \end{matrix}$

進一步考慮上圖 2 所示單排點渦，可寫出流函數(shù)為

$\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} ψ_{0} = \frac{1}{2 i} [W_{0} (z) - W_{0}^{*} (z)] = - \frac{Γ}{4 π} \ln \frac{1}{2} (\cosh \frac{2 π y}{a} - \cos \frac{2 π x}{a}) \end{aligned} \end{matrix}$

再由坐標平移可得，上下兩排點渦分別產(chǎn)生的流函數(shù)為

$\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} ψ_{1} = - \frac{Γ}{4 π} \ln \frac{1}{2} {\cosh [\frac{2 π}{a} (y - \frac{b}{2})] - \cos (\frac{2 π x}{a})} \end{aligned} \end{matrix}$

$\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} ψ_{2} = \frac{Γ}{4 π} \ln \frac{1}{2} {\cosh [\frac{2 π}{a} (y + \frac{b}{2})] - \cos [\frac{2 π}{a} (x - \frac{a}{2})]} \end{aligned} \end{matrix}$

由線性性質(zhì)，疊加可得原點渦系的流函數(shù)最終形式為

$\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \begin{aligned} ψ & = ψ_{1} + ψ_{2} = - \frac{Γ}{4 π} \cdot \ln {\frac{\cosh [\frac{2 π}{a} (y - \frac{b}{2})] - \cos (\frac{2 π x}{a})}{\cosh [\frac{2 π}{a} (y + \frac{b}{2})] - \cos [\frac{2 π}{a} (x - \frac{a}{2})]}} . \end{aligned} \end{aligned} \end{matrix}$

以上流函數(shù)定義在笛卡爾坐標系 $(x, y)$ 下。令其為常數(shù) $const$ ，則可根據(jù)不同 $b / a$ 大小的情形，來繪制一系列流線簇。

下面采用 Mathematica 12.3 軟件分別繪制 $b / a = 0.00,$ $0.05,$ $0.15,$ $0.2806, 0.35,$ $0.50,$ $1.00,$ $1.50$ 六種情形下的流線分布，并設置 $a = 1, Γ = 1$ ，如圖 4 所示，源代碼見附錄。

可以觀察到，該點渦系流線呈現(xiàn)在上下兩排點渦間交替穿插的特點。隨著 $b / a$ 增加，兩排點渦間的流線扭曲程度逐漸趨緩。當 $b / a = 0$ 時，該點渦系退化為單排點渦系。

值得注意的是，當 $b / a = 0.2806$ 時，該點渦系正是由馮·卡門提出的唯一能夠保持無粘中性穩(wěn)定的情形，即為著名的卡門渦街 (von Kármán Vortex Street)。這里有關(guān)點渦系穩(wěn)定性的推導這里從略，詳細請參考相關(guān)文獻。

圖 4 不同 b/a 情形下點渦系誘導的流線簇示意圖

由一個看似基本的點渦系穩(wěn)定性問題，便獲得了卡門渦街優(yōu)美的數(shù)學模型，是不是很奇妙呢？

后來，在卡門基礎(chǔ)上，進一步研究發(fā)現(xiàn)，圓柱繞流卡門渦街（如圖 5, 6 所示）的形成，其來流必須滿足一定條件。

由量綱分析可知，主導渦街形態(tài)的兩個無量綱數(shù)為斯特勞哈爾數(shù) $St$ (Strouhal number) 和雷諾數(shù) $Re$ (Reynolds number)，其定義分別如下：

$\begin{matrix} (11) & St = \frac{f L}{U} \end{matrix}$

其中， $f$ 為渦脫頻率， $L$ 為特征長度， $U$ 為來流速度。 $St$ 的物理意義是非定常運動慣性力與慣性力之比，是表征流動非定常性的相似準則，也是是非定常空氣動力實驗中要模擬的相似準則。

$\begin{matrix} (12) & {Re}_{L} = \frac{U L}{ν} \end{matrix}$

其中， $ν$ 為運動粘性系數(shù)。 ${Re}_{L}$ 的物理意義是定常運慣性力與粘性力之比，是流體力學中最基本、最重要的無量綱數(shù)。

關(guān)于卡門渦街中擾流圓柱渦的脫落頻率 $f$ ，泰勒（F. Taylor）和瑞利（L. Rayleigh）給出了下列經(jīng)驗公式^[5]

$\begin{matrix} (13) & f = 0.198 \frac{U}{d} (1 - \frac{19.7}{{Re}_{d}}) \end{matrix}$

該式適用于 $250 < {Re}_{d} = \frac{U d}{ν} < 2 \times 10^{5}$ 。其中 $d$ 為圓柱直徑。由此看出，擾流圓柱卡門渦街中渦脫落頻率 $f$ 與流速 $U$ 成正比，即流速越大，渦脫落的越快；而與圓柱直徑 $d$ 成反比，即圓柱直徑越大，渦脫落的越慢。

通過上述經(jīng)驗式我們還可以定量分析一些現(xiàn)象：比如在風吹電線嗡鳴發(fā)聲的現(xiàn)象中，假設已知風速和電線的直徑，那么就可以獲得風嗡鳴的頻率。反之，我們測得了聲音頻率就可以獲得風速！^[6]

當然，卡門渦街的理論與應用不止于此，感興趣的小伙伴可以去參考相關(guān)資料哦！

神奇的卡門渦街，不朽的探索精神，偉大的物理直覺，無窮的科學靈感！

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